Modulbeschreibung

Komplexe Zahlen und Differentialgleichungen

ECTS-Punkte:
2
Lernziele:

Komplexe Zahlen ist ein Konzept, welches zur mathematischen Allgemeinbildung gehört, und in ganz vielen verschiedenen Kontexten auftritt. Speziell ist es für Ingenieure wichtig, dass Schwingungen mithilfe komplexer Exponentialfunktionen effizient beschrieben werden können.

Differentialgleichungen sind mathematische Beschreibungen realer Systeme, und stehen damit am Ursprung vieler natur- und ingenieurwissenschaftlicher Disziplinen. Die Studierenden sollen befähigt werden, einfache technische Problemstellungen in der Sprache der Differentialgleichungen zu modellieren und zu lösen.

Kurse in diesem Modul

Komplexe Zahlen und Differentialgleichungen:

Teil 1: Komplexe Zahlen

Lernblock: Komplexe Zahlen, kartesische Form

  • Einführung, Definition von j, Reelle, imaginäre und komplexe Zahlen, Darstellung in der Gauss’schen Zahlenebene,Rechenoperationen in kartesischer Form
  • Betrag einer komplexen Zahl, Konjugiert-komplexe Zahlen, Lösen von Gleichungen

Lernblock: Komplexe Zahlen, Exponentialform

  • Formel von Euler, Trigonometrische Form, Exponentialform
  • Umrechnungen, Rechenoperationen in Exponentialform: Multiplikation und Division, graphische Bedeutung
  • Rechenoperationen in Exponentialform, Lösungen der Gleichung z^n=c

Lernblock: Komplexwertige Schwingungen

  • Reellwertige Schwingungen, Repetition
  • Komplexwertige Schwingungen: Definition, Veranschaulichung, Umrechnungen
  • Addition von Schwingungen mit derselben Frequenz, Anwendung: Impedanzen in Wechselstromkreisen

 

Teil 2: Gewöhnliche Differentialgleichungen (8 Wochen)

Lernblock: Einführung, Separation der Variablen

  • Einführung: Freier Fall, DGL, welche nur von der Zeit abhängen, allgemeine und spezielle Lösungen
  • Definitionen: Gewöhnliche DGL, Schreibweise der Ableitungen, Eigenschaften von DGL (Ordnung, autonome DGL, lineare DGL)
  • Separation der Variablen

Lernblock: Lineare DGL mit konstanten Koeff. 1. Ordnung

  • Die DGL x‘=ax, Anwendung: Radioaktiver Zerfall
  • Die DGL x‘=ax+b, x‘=ax+sin(wt), Anwendung: Tiefpassfilter, RC-Schwingkreis

Lernblock: Lineare homogene DGL mit konstanten Koeff. 2. Ordnung

  • Charakteristische Gleichung, Fundamentalsystem, allgemeine Lösung
  • Lösungen der charakteristischen Gleichung: Reell, verschieden; Reell, zweifach; Konjugiert-komplex
  • Anwendung: Gedämpfte Schwingungen

Lernblock: Lineare inhomogene DGL mit konstanten Koeff. 2. Ordnung

  • Methode: Ansatz für die partikuläre Lösung
  • Verschiedene Störfunktionen: Konstante, Schwingung
  • Anwendung: Resonanzen 
Vorlesung mit 1.5 Lektionen pro Woche
Uebung mit 0.5 Lektionen pro Woche
Disclaimer

Diese Beschreibung ist rechtlich nicht verbindlich! Weitere Informationen finden Sie in der detaillierten Modulbeschreibung.